\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f3\fswiss\fprq2 System;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f2\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f2\fs20\cf0 Inhalt....: Berechnung von Nullstellen und Schnittpunkten mit der y-Achse 
\par Kategorie.: Grundkurs
\par Mathematik: Analysis 
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: 2005-04-04
\par Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
\par Funktionen: solve, numeric::solve, delete, DIGITS, Simplify, AllRealRoots
\par Funktionen: NoWarning 
\par \plain\f2\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs36\cf0\b 
\par \plain\f4\fs40\cf0\b Berechnung von Nullstellen und Schnittpunkten 
\par mit der \plain\f4\fs40\cf0\b\i y\plain\f4\fs40\cf0\b -Achse 
\par 
\par \plain\f4\fs24\cf2 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f4\fs24\cf2\b MuPAD Grundkurses\plain\f4\fs24\cf2 .\plain\f6\fs24 
\par 
\par \plain\f4\fs28 In einer jeden klassischen Funktionsdiskussion m\'fcssen die Schnittpunkte der 
\par zu untersuchenden Funktion mit den Koordinatenachsen bestimmt werden. Da 
\par insbesondere die Berechnung von Nullstellen komplizierterer Funktionen oft 
\par auf schwer zu l\'f6sende Gleichungen f\'fchrt, ist es sinnvoll, gerade in diesem 
\par Bereich ein Computeralgebra System zur Hilfe zu nehmen. Wir werden im 
\par folgenden zwei M\'f6glichkeiten kennenlernen, wie man die Nullstellen einer 
\par Funktion bestimmen kann: Die erste M\'f6glichkeit ist die exakte Berechnung 
\par von Nullstellen mit Hilfe der MuPAD Funktion "solve" (sofern m\'f6glich), die 
\par zweite M\'f6glichkeit die n\'e4herungsweise (d.h. numerische) Berechnung von 
\par Nullstellen mit Hilfe der Funktion "numeric::solve", falls keine exakte L\'f6sung 
\par gefunden werden kann.
\par 
\par \plain\f4\fs40\cf0\b Exakte Berechnung von Nullstellen 
\par \plain\f4\fs28 
\par Haben wir eine Funktion f in einer Variablen, sagen wir in x, gegeben und 
\par m\'f6chten wir ihre exakten Nullstellen mit MuPAD berechnen, so verwenden 
\par wir die MuPAD Funktion "solve". Diese Funktion erh\'e4lt stets zwei Argumente: 
\par Das erste Argument ist eine Gleichung der Form "Funktion = 0", das zweite 
\par Argument die Funktionsvariable (in unserem Fall also x). 
\par Haben wir den Funktionsterm zuvor an die Variable f zugewiesen (so wie wir 
\par es im Abschnitt \'fcber die Definition von Funktionen in MuPAD gelernt haben) 
\par und ist die Funktionsvariable der Funktion f durch x gegeben, so berechnet 
\par also ein Aufruf der Form "solve(f(x) = 0, x)" die Nullstellen der Funktion f. 
\par 
\par Wir betrachten einige Beispiele:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f:= x -> (x^2 + 2*x + 1) / (x - 2)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Diese gebrochen-rationale Funktion ist uns bereits in den letzten beiden Ab-
\par schnitten begegnet. Ihre Nullstellen erhalten wir also wie folgt:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(f(x) = 0, x)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wir betrachten noch einige weitere Beispiele:\plain\f6\fs24 
\par \plain\f4\fs28 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}g:= x -> x * exp(x)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(g(x) = 0, x)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}h:= x -> x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}L:= solve(h(x) = 0, x)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Hinweis: Auf die Elemente einer L\'f6sungsmenge L k\'f6nnen Sie mit der Syntax
\par L[i] auf das i-te Element der L\'f6sung zugreifen. Beispiel:
\par \plain\f2\fs28\cf1 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}L[1]; 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f2\fs28\cf1 h(L[1])
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Zur \'dcbung k\'f6nnte man an dieser Stelle die Ergebnisse kontrollieren, indem man 
\par die berechneten Werte in den entsprechenden Funktionsterm einsetzt und die 
\par entsprechenden y-Koordinaten, die ja alle Null sein sollten, berechnet. Wir ver-
\par zichten an dieser Stelle darauf und verweisen auf den Abschnitt \'fcber die Berech-
\par nung von Funktionswerten. 
\par 
\par Die Funktionen, deren Nullstellen wir bisher bestimmt haben, waren alle recht 
\par einfache Funktionen und hatten nur eine endliche Anzahl von Nullstellen. Dass wir 
\par mit MuPAD auch die Nullstellen periodischer Funktionen wie z.B. der Funktion 
\par sin(2 * x) berechnen k\'f6nnen, zeigt das folgende Beispiel: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}k:= x -> sin(2 * x)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(k(x) = 0, x)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Die Menge der Nullstellen der Funktion sin(2 * x) ist nicht endlich: Sie lassen sich 
\par jedoch in Abh\'e4ngigkeit von 1/2 * PI parametrisieren. Genau dies hat MuPAD getan. 
\par Alle ganzzahligen Vielfachen von 1/2 * PI sind Nullstellen der Funktion sin(2 * x).
\par 
\par Als letztes Beispiel betrachten wir eine Funktion, bei der wir, wie wir sehen werden, 
\par die Nullstellen nicht mit Hilfe von "solve" bestimmen k\'f6nnen:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}l:= x -> -2^x + 25*x^3 + 1
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}solve(l(x) = 0, x)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Hier hat "solve" die Nullstellen nicht berechnen k\'f6nnen und teilt uns dies mit, indem 
\par als R\'fcckgabewert genau das erscheint, was wir eingegeben hatten. Vom mathema-
\par tischen Standpunkt aus gesehen ist dieses Ergebnis keinesfalls verwunderlich - 
\par Exponentialgleichungen sind gerade dann, wenn sie zus\'e4tzlich noch polynomielle 
\par Terme (wie hier 25*x^3) enthalten, in der Regel exakt \'fcberhaupt nicht l\'f6sbar. Zur 
\par L\'f6sung der Gleichung sind N\'e4herungsverfahren n\'f6tig (z.B. das Newtonverfahren, 
\par Bisektion oder \'e4hnliches). Nat\'fcrlich wollen wir diese N\'e4herungsverfahren nicht 
\par explizit per Hand ausf\'fchren, sondern wir w\'fcnschen uns eine MuPAD Funktion, 
\par die dies f\'fcr uns erledigt. Diese gesuchte Funktion ist "numeric::solve". 
\par 
\par 
\par \plain\f4\fs40\cf0\b N\'e4herungsweise Berechnung von Nullstellen 
\par \plain\f4\fs28 
\par Wann immer wir die Nullstellen einer Funktion nicht exakt mit "solve" bestimmen 
\par k\'f6nnen, verwenden wir die Funktion "numeric::solve". Ihre Handhabung ist ganz 
\par analog zu der Handhabung der Funktion "solve". Im Gegensatz zu "solve", liefert 
\par "numeric::solve" stets N\'e4herungswerte und keine genauen Ergebnisse. So ist es 
\par also ratsam, bei einer gegebenen Funktion zun\'e4chst zu versuchen, die Nullstellen 
\par mit "solve" exakt zu berechnen. F\'fchrt dieser Ansatz nicht zum Ziel, so greift man auf 
\par "numeric::solve" zur\'fcck. Es w\'e4re ung\'fcnstig, eine Funktion sofort mit "numeric::solve" 
\par auf Nullstellen zu untersuchen, denn auch wenn MuPAD in der Lage ist, die Nullstellen 
\par exakt anzugeben, so liefert "numeric::solve" dennoch nur N\'e4herungswerte f\'fcr die Null-
\par stellen. 
\par 
\par Standardm\'e4\'dfig wird in MuPAD mit 10 signifikanten Stellen gerechnet, was ungef\'e4hr 
\par der Genauigkeit eines besseren, nicht programmierbaren, Taschenrechners entspricht. 
\par Die Genauigkeit kann jedoch beliebig erh\'f6ht werden. Dazu werden wir unten auch ein 
\par Beispiel betrachten. 
\par 
\par Zuerst wollen wir aber jetzt die Nullstellen der Funktion l bestimmen, die wir oben 
\par nicht berechnen konnten. Wir verwenden dazu die Funktion \plain\f2\fs28\cf1 numeric::solve\plain\f4\fs28  mit der
\par Zusatzoption "\plain\f2\fs28\cf1 AllRealRoots\plain\f4\fs28 ". Diese Zusatzoption bewirkt, dass MuPAD versucht, 
\par alle reellen Nullstellen numerisch zu berechnen. Bei extrem komplizierten Funktionen 
\par kann es passieren, dass der numerische L\'f6sungsalgorithmus nicht wirklich alle 
\par Nullstellen der Funktion findet (z.B. bei Funktionen, die unendlich viele Nullstellen
\par haben). Aus diesem Grund gibt MuPAD bei Verwendung der Option \plain\f2\fs28\cf1 AllRealRoots\plain\f4\fs28 
\par stets eine Warnung aus, die besagt, dass u.U. nicht alle L\'f6sungen gefunden werden.
\par Die internen Verfahren zur Berechung der Nullstellen sind aber so gut, dass sie 
\par in allen Schulbeispielen problemlos verwendet werden k\'f6nnen. Man braucht sich
\par also an der Warnung nicht zu st\'f6ren: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(l(x) = 0, x, AllRealRoots)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Zur Unterdr\'fcckung der Warnung kann man die Option verwenden: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(l(x) = 0, x, AllRealRoots, NoWarning)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 
\par Wollen wir die Genauigkeit des Ergebnisses beeinflussen, so m\'fcssen wir den Wert 
\par der Variablen "DIGITS" ver\'e4ndern. Diese Variable speichert die Anzahl der signifi-
\par kanten Stellen, mit denen in MuPAD gerechnet wird und ist standardm\'e4\'dfig mit dem 
\par Wert 10 belegt. Wir erh\'f6hen ihren Wert auf 20 und berechnen die Nullstellen der 
\par Funktion l erneut:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}DIGITS:= 20:
\par {\pntext\f1\'b7\tab}numeric::solve(l(x) = 0, x, AllRealRoots, NoWarning)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wie wir sehen, ist das Ergebnis viel genauer. Man kann den Wert der Variablen 
\par "DIGITS" nahezu beliebig erh\'f6hen - die Rechengenauigkeit von MuPAD ist ledig-
\par lich durch Zeit, Prozessorleistung und Speicherplatz beschr\'e4nkt. Um "DIGITS" 
\par wieder auf seinen urspr\'fcnglichen Wert zur\'fcckzusetzen f\'fchren wir einfach die fol-
\par gende Befehlszeile in MuPAD aus:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}delete DIGITS:
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 
\par Weitere Anregungen, Beispiele und Erkl\'e4rungen finden sich im "Handwerkskasten" 
\par in den Notebooks "Definition von Funktionen" und "Berechnung von Nullstellen". 
\par Da die MuPAD Funktionen "solve" und "numeric::solve" nicht nur zur Berechnung 
\par von Nullstellen, sondern vielmehr ganz allgemein zum L\'f6sen von Gleichungen ver-
\par wendet werden k\'f6nnen, verweisen wir zus\'e4tzlich auf die Notebooks zur Berechnung 
\par von Schnittpunkten zweier Funktionen ("Schnittpunktberechnung") und zur L\'f6sung 
\par von Gleichungssystemen ("L\'f6sen von Gleichungssystemen"). Dort wird der Umgang 
\par mit "solve" bzw. "numeric::solve" in der f\'fcr den "Handwerkskasten" \'fcblichen ausf\'fchr-
\par lichen Weise erl\'e4utert und anhand von Beispielen erkl\'e4rt.
\par 
\par \plain\f2\fs28\cf1 
\par \plain\f4\fs40\cf0\b Bestimmung des Schnittpunktes einer Funktion mit 
\par der \plain\f4\fs40\cf0\b\i y\plain\f4\fs40\cf0\b -Achse 
\par \plain\f4\fs28 
\par Die Berechnung des Schnittpunktes einer Funktion mit der y-Koordinatenachse ist 
\par denkbar einfach - wir m\'fcssen nur, sofern die betrachtete Funktion an der Stelle x = 0 
\par definiert ist, den Wert 0 f\'fcr x in den Funktionsterm einsetzen. Wie wir Funktionswerte 
\par  berechnen, haben wir bereits im vorherigen Abschnitt gelernt. Die y-Koordinaten der 
\par Schnittpunkte mit der y-Achse der Funktionen f bis l, deren Nullstellen wir oben 
\par bestimmt haben, lassen sich daher wie folgt berechnen:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}f(0)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}g(0)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}h(0)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}k(0)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}l(0)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Sind Ergebnisse nicht soweit vereinfacht, wie man es gerne h\'e4tte, so l\'e4sst sich in 
\par der Regel durch zus\'e4tzliche Anwendung der Funktion "simplify" auf das entsprechende 
\par Ergebnis die gew\'fcnschte Vereinfachung erreichen. 
\par 
\par Beispiel: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}1 - sin(x)^2 - cos(x)^2
\par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Dieser Ausdruck ist Null, was man durch Anwendung der Funktion Simplify leicht 
\par verifizieren kann:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f2\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Simplify(1 - sin(x)^2 - cos(x)^2)
\par \pard\ri4\plain\f2\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf3\b 
\par \plain\f4\fs22\cf4\b \'dcbungen: 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b 1.\plain\f4\fs20\cf4  \plain\f4\fs22\cf4 Berechnen Sie die Nullstellen (wenn m\'f6glich exakt mit Hilfe von "solve", sonst n\'e4herungsweise 
\par \plain\f4\fs22\cf5 __\plain\f4\fs22\cf4 mittels "numeric::solve") und die y-Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit der y-Achse. 
\par \pard\li500\ri4\plain\f6\fs24 {\pict\wmetafile8\picw6259\pich797\picscalex99\picscaley99\picwgoal3549\pichgoal453
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